在罗巴切夫斯基之后，非欧几何就得到了长足的发展。
首先是德国数学家黎曼，基于罗巴切夫斯基等人的思想，建立了一种更广泛的几何，即现在所说的黎曼几何。
自此，非欧几何得到了正式的确认和建立。
如果说欧几里德几何是基于经典平面下的几何。
那么非欧几何就是一种专门研究曲面状态下的几何。
几何学在非欧几何的建立后，得到了极大的拓展和延伸。
就好比在相对论出现后，牛顿的经典力学变成了低速状态下才成立一样。
非欧几何揭示了空间的弯曲性质，将平直空间的欧氏几何变成了某种特例。
而19世纪的几何学，可以理解为一场广义的非欧运动：从三维到高维、从平直道弯曲……
此外射影几何的发展，也给了欧氏几何最后一击，让欧氏几何从神圣的位置上，彻底跌落。
由于19世纪几何学的繁荣发展，也使得几何衍生出了许多流派。
最后，为了统一几何学，19世纪最有名的数学家之一希尔伯特，在1899年编著的《几何基础》中，使用公理化的方法，系统的将原来的公理体系整理了一遍。
所为的公理，就是没办法被其他公里推导出来，而是依据人类的理性和直觉不证自明的基本事实。
这也是有人说数学是一门人类主观定义的学科的真正缘故，因为公理是没办法被证明的，只能依赖人类的直觉感受去定义。
而人类的直觉感受就是主观的，是对宇宙客观规律的一种感受。
但是，人类的直觉感受到的宇宙客观规律，就一定是公理所描述的那样吗？真的是完全不可动摇吗？
人类的直觉感受真的不会出问题吗？
宇宙客观规律，在经过人类直觉感受后，不会发生扭曲吗？
这些问题，都是进入20世纪后，困扰整个数学界，乃至科学界的一大难题。
这就好比，一个二维生物，他永远不会有三维感观，所以他所看到的世界永远是二维的，他所看到的客观规律，也仅仅只是高维世界呈现在二维层面上的一种投影，而非全部。
所以，二维生物觉得天经地义的某种公理，在三维层面，可能是完全另外一种形式。
比如，二维生物可以提出这样一个公理：一条无限延伸的直线，是绝对没办法绕过的。
这个公理在二维世界里，可以说是天经地义，绝对正确的。
但这样的正确，是基于二维生物对二维世界的主观观察得出来的。
是二维生物主观定义出的公理，然后二维生物可以基于这个公理发展出一套二维数学出来。
但是，如果我们以三维生物的角度去看的话，就会发现这个公理是完全站不住脚的。
所以，甚至可以极端的说，现代的数学和物理学，还有其他科学，都是建立在人对宇宙的观察基础上，发展出来的一种主客观交杂的学科，因为我们会受到自己感知器官的制约。
以至于在进入21世纪后，有一些比较激进的科学家都在怀疑：“我们甚至不知道我们看到的这片星空，到底是不是真的。”
非欧几何的发展，深刻的揭示了这残酷的现实。
那就是人类的直觉，并不可靠。
这样的不可靠，在进入20世纪后，随着科学的迅速发展，显得更为明显。
相对论和量子力学，都充分说明了，人类的直觉感观是多么的不可靠。
而几何学归根结底，就是建立在一条条公理之上的大厦。通过公理推导出一条条定理，最终形成了几何学的全部。
所以，一旦公理本身一旦出现问题，整个数学大厦的根基，也就随之动摇。
但非欧几何最大的其中一个意义就在于，他揭示了人类可以用数学来描述高维世界的可能。
也就是说，虽然人的思考是主观的，但是我们还是能找到如何用客观的方法，去尽可能描述这个世界。
而这个过程，必然不是一开始就是正确的，从欧几里德到非欧几何，从牛顿力学到相对论和量子力学。
人类所发现的这些理论，都是具有局限性，就是需要加一些先决条件才能程理。
比如欧几里德只有在平直的平面上成立。
牛顿力学只有在低速下成立。
相对论只有在宏观尺度下成立。
量子力学只有在微观尺度下成立。
这些人类最重要的科学理论，都得加上一些先决条件，才能成立。
而追求那个具有完全普适性，完全没有先决条件，在任何情况下都能成立的宇宙最终公理。
可以不受任何观察者影响，不受任何主观影响，在任何情况下都能客观永恒不变的宇宙最终公理。
这是所有科学家，无数代人，前仆后继追求的最终理想。
按照算童的说法，那就是宇宙唯一真理，是三千大道的唯一根源。
虽然人类的主观直觉感受，并不靠谱。
但幸好，我们还有数学。
数学虽然有一些概念，还有那些公理是人为主观定义的，没有人知道最后它们到底是不是对的。
但是，经过严格的逻辑推导后，数学的确是人类唯一能使用的，最具客观性的工具。哪怕这个客观性的根基，是带有一些主观性的。
但并没有关系，就像从欧几里德几何，到非欧几何的发展过程一样。
哪怕数学带有某些主观性，但是只要人类不断的怀疑和创造，那么就可以让数学越具备客观性，成为人类客观探索宇宙最锋利的武器。
人类最大的创造力就在于自我怀疑上，也因此才能不断的进步。
就像笛卡尔曾经说过：“我们要想追求真理，就必须在一生中尽可能地把所有的事物都来怀疑一次。”
当然，这样的怀疑，必须建立在科学探索的态度上，而不是盲目否定一切。
科学的怀疑，是建立在思考论证的基础上，每一次怀疑，都是为了让自己的理论更具客观性。
想要更具客观性，就需要严格的逻辑推导，详实的论证过程。
而不是通过随便YY，来怀疑否定一切。
这也是专业科学工作者和一些“民科”的最大区别。
只要拥有这种科学的怀疑精神，哪怕我们看到的这片星空是假的，那么早晚有一天，我们也能找到观察到真实星空的客观方法。
这就是科学。
也是程理一直信奉的科学理念。
程理，在这样的题库海洋中艰难前行的过程中，不知不觉就萌生出一直以来潜藏在他心中的这种科学理念。
他从这一道道问题的背后，感受到地球上无数代人，那时代的推进，在怀疑和肯定中交替螺旋前进的数学史，乃至科学史。
他感受到这些问题那背后蕴藏的科学思想，以及每一个问题所对应的物理、化学、生物领域的进步和发现。
这都让程理渐渐有了一丝明悟，让他对“数学”的定义，有了更深的了解和认识。
在这样的明悟之下，程理识海中的神秘资讯，又开始活跃起来。
随之，在面对自己本来已经无法答上来的难题时，程理脑海中却开始不断的灵光闪现，一个又一个灵感冒出。
原本完全想不通的地方，竟然想着想着就突然明白想通了，在那一瞬间，让程理有一种浑身舒泰的爽快感，那是一种比任何情绪都要喜悦的感觉。
就这样，程理在算学碑里，突飞猛进着，在经过10个小时的艰苦奋战之后，他终于来到了第2501层。
开始了20世纪的数学之旅。
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（这一章，算是阐述了兔子这么多年来，个人对科学的一些看法。
我知道有一些读者不太喜欢看这样带有科普倾向的内容。
但是兔子真的好喜欢啊！
我从小学四年级开始，就喜欢看各种各样的科普丛书。
每年暑假，别人跑出去玩，我就喜欢蹲书店里看科普丛书。
所以，最近这部分数学史的内容，算是我个人创作一个小小的任性吧。
我自己很喜欢看这样的内容，我相信应该也会有人喜欢看的吧。
至于不喜欢这样内容的读者，还请见谅一下。
这部分内容，已经快结束了，接下来就是青灵岛的大战。
也是第一卷最后也是最大的高潮，我会努力写好，敬请期待！）